Buddhism Series 8 - Use of the Teachings 《佛教叢書8－教用》
Buddhism and Mathematics 佛教與數學
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佛教與數學數學是計算數量、空量(空間)、時量(時間)之學。數量的計算，好比二加二等於四；空量的計算，如形體的幾何學；時量的計算，即過去、現在、未來的時間累計。但是，在空量(空間)和時量(時間)的計算上，還是離開不了數量，所以現代人就綜合稱之為數學。
數學的萌芽是人類思想進化的結果，其與人類的生活關係十分密切，舉凡我們一切的思想、言說，都是用推比來覺知的，而推比的首要工具就是數量，否則我們既無法求得覺知，也無法運用思想與言說。
數學與佛教的關係也是密不可分，因為人活在世界上，離開不了時間、空間、人間等三者的關係。佛教為了闡明宇宙人生的真理，自然脫離不了對時空及人事物的介紹，因此佛經中處處可見帶有數字的佛教名詞，例如：一心、二門、三界、四諦、五蘊、六度、七聖財、八正道、九品蓮花、十方法界、十二因緣、五位百法、八萬四千法門、十萬億佛土等。《增一阿含經》就是以數字為核心，再加以解說佛教名詞的經典，《法集名數經》也是列舉法數的經典。唐代李師政編《法門名義集》，明代一如編《大明三藏法數》等，都是蒐集法數的著作，可見數學是佛教用來詮釋教義的重要工具。
◆佛典中的數學
數學中既然分有數量、空量、時量，今就佛學上的說法加以一一解釋如下：
一、數量單位
中國傳統計算數量是採十進位，共計為：一、十、百、千、萬、億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載等單位。實際上，現在「億」以上都是由萬數來表達，比如萬、百萬、千萬等，億兆的數量名稱已不多用，京、垓、秭、壤更是少人使用。
不但中國如此，就是西洋的計數，實際上使用的也不過六、七位。佛教各經論中，計算數量多用洛叉(億)、俱胝(京)、阿僧祇等，實已超過常用的數位。在大小乘的論典中，以及《佛所行讚》、《法華經》、《華嚴經》等，雖然計算數法及數目的次序並不一致，但綜合來看，還是一般十進的加法與倍進的乘法。
佛經上的數量說明有三種：一、是代表初期小乘佛學的上座部說；二、是代表後期小乘的《俱舍論》說；三、是代表大乘學的《華嚴經》說。
初期的原始佛教，有上座部與大眾部之分，今日錫蘭、緬甸、暹羅所傳的佛教，就屬上座部。上座部對於數量的說法是用十進位，共有十六位。此十六位數量並不是佛學所特有的，是古來印度相傳的計算方法，今列表如下：
十個十等於一百
十個百等於一千
十個千等於一萬
十個萬等於一洛叉(億)
十個洛叉等於一大洛叉(兆)
十個大洛叉等於一俱胝(京)
十個俱胝等於一額部曇(垓)
十個額部曇等於一缽曇摩
十個缽曇摩等於一大阿庾多
十個阿庾多等於一那庾多
十個那庾多等於一大缽曇摩
十個大缽曇摩等於一缽羅庾多
十個缽羅庾多等於一三慕達羅(正)
十個三慕達羅等於一末陀(載)
十個末陀等於一大矜羯羅
十個大矜羯羅等於一頻跋羅
世界各國通用的數字，雖然至兆即止，但文化是發達進步的，佛教的學者們覺得這些數字還不夠用，所以又有《俱舍論》五十二位數的產生。
《俱舍論》五十二數也是十進位，最高的五十二位數是阿僧祇。在《華嚴經》中也曾說到阿僧祇，並以一阿僧祇為單位，漸次轉倍，至不可說不可說，即：阿僧祇、無量、無邊、無等、不可數、不可稱、不可思、不可量、不可說、不可說不可說，稱為十大數。十大數的計數法為：阿僧祇乘以阿僧祇，得阿僧祇轉；阿僧祇轉乘以阿僧祇轉，得無量，以下類推。
《華嚴經》所說雖然令人不可思議，但據科學家們的研究：光的速率為一八六二八○哩，一秒鐘內能環繞地球七週半；又宇宙直徑為一百萬萬光年，其數目是一的後面有八十三個零。如果這個數字不用佛經中的數目表明，則一之下圈八十三個零的數量，又將如何稱呼呢？即使以《俱舍論》所說的五十二位，也尚嫌不足。因此，只有再進一步探究《華嚴經》所說的數位了。
《華嚴經》所說的數量位共有一百二十六位，俱胝以前是世俗的數位，都是十進的加法，俱胝以後，為一般科學者研究的數位，依此可以漸漸的了解佛陀所證知的數位。唯佛陀所能解的數學，從阿僧祇起，共有二十位，這是用倍倍相乘的進法，其數之多，窮於計算。又因為虛空無盡，世界無盡，眾生無盡，幸賴佛陀的智慧剖析，使一切廣闊精微各有其名稱。所以，唯有佛陀的智慧才能窮究數學之源。
二、空量單位
在數學裏，計算空間點線面積的是幾何學，佛學裏並不曾縝密的另創新說，不過，在大乘的學說中，對於空間，佛陀曾汎言佛剎與微塵數，對於佛剎，則論及十方無量無邊的世界；對於微塵，並未詳言微塵的數量，以及微塵如何積聚而成佛剎。這是因為大乘以有情的器世間等，都是幻象不真，所以只觀空而不分析；而小乘是以分析觀空，所以對極微曾加以分析。當初印度的佛學者，對萬物起源的研究，認為是地水火風四大種假因緣所組成，但四大種也必有其出發點，以形成單位，然後山河大地才不致等於龜毛兔角。這種假想分析證明法，是說四大迭分迭細，至於極渺小的地位，科學經驗不能覺知，物理手續不能分割，此即名之為極微。近代科學家以物理的分析為最細小的是原子、電子，但電子還可分析，此即佛教所說的極微。
今以小乘《俱舍論》為例說明，以七個極微為一個微量，積七個微量為一個金塵量，積七金塵為一水塵量，積七水塵為一兔毛塵量，積七兔毛塵為一羊毛塵量，積七羊毛塵為一牛毛塵量，積七牛毛塵為一隙遊塵量，積七隙遊塵為蟣，七蟣為一虱，七虱為穬麥，七麥為指節，三節為一指。
佛經常常以微塵比喻量極小，若一個佛剎或一個國土，究以多少微塵集合而成，以我們普通的數法，那是難以計算的。
佛經裏講到空間的距離，依印度習俗都是用「由旬」，由旬，梵語是踰繕那，華言限量，分有三等，上等由旬八十華里，中等由旬六十華里，下等由旬四十華里。佛經裏對於空間的距離，或八萬四千由旬，或十萬億佛土，如是之說是將抽象概念變為具體數字而已。
三、時量單位
一瞬，為世間計算時間最小的單位；把時間延伸的是生物學者，他們的生物紀一說都是若干萬年；地質學者更有較長的地層紀，他們一說都是幾千萬年；最長的是天文學者的天體紀，一說都是若干萬萬年。雖然如此，與佛陀所說相比較，相差仍然甚遠。
佛學中的時量，分小時、中時、大時，以《俱舍論》的說法略解如下：
小時量的計算：「剎那」是時間的最小單位。據《俱舍論》卷十二記載，一百二十剎那為一怛剎那，六十怛剎那為一臘縛，三十臘縛為一牟呼栗多，三十牟呼栗多為一晝一夜，三十晝夜為一月，總十二月為一年，於一年中分為三際，即寒、熱、雨各有四月。又說：壯士一彈指頃，有六十五剎那。《仁王經‧觀空品》載，九十剎那為一念，一剎那有九百生滅。而《往生論註》則說一剎那有一百零一生滅。
實在說來，剎那的真量，除佛陀外，餘皆不能盡知，因為能知的心念粗細懸殊，所知的時量也就千差萬別。
中時量的計算：佛經中一個晝夜分為六時：晝三時，即上日(辰巳)、中日(午未)、下日(申酉)；夜三時，即初夜(戌亥)、中夜(子丑)、後夜(寅卯)。從晝夜往上推，則為：
三十晝夜為一月
四個月為一季(我國三個月為一季，一年為春夏秋冬四季。印度每年分寒季、雨季、熱季，與他處不同)
三季為一年
一百年為一世(我國三十年為一世)
五百年為一變(此可見於佛陀說法初五百年如何，後五百年如何)
一千年為一化(此可見佛陀說正法千年、像法千年)
一萬二千年為一週(此可見佛陀說正法、像法、末法共為一萬二千年)
大時量的計算：佛學中說大時量常用「劫」字，劫就是大時的意思。分小劫、中劫、大劫三種。從人壽十歲算起，每過一百年增加一歲，加到八萬四千歲，然後再從八萬四千歲每隔一百年減一歲，減到十歲，總共一千六百八十萬年稱為一小劫。以此往上推，則為：
一個小劫為一千六百八十萬年
二十個小劫為一個中劫
四個中劫為一個大劫，一個大劫中有成(世界生長期)、住(世界壯盛期)、壞(世界老死期)、空(世界滅無期)，如此成住壞空相續循環一次為一大劫。
七個大劫(亦名火壞劫)為一水壞劫
七個水壞劫為一風壞劫
以這樣計算，一個風壞劫中有七水劫，四十九火劫，一百九十六中劫，三千九百二十小劫，六百五十八萬萬五千六百萬年。佛經裏常說的劫，大都指的這風水火的劫而言。經裏亦曾說到佛陀三大阿僧祇劫修行成佛的故事，在三大阿僧祇劫中，忍人所不能忍，行人所不能行，然後方於菩提樹下成等正覺。這種時量之長，與《彌陀經》中說「阿彌陀佛成佛以來，於今十劫」的時量一樣難以計算。
◆佛教對數學的看法
一、佛教看數量
「一個不是少，萬億不是多。一就是多，多不離一。」
對佛教沒有研究的人，見了這句話，一定大惑不解，然而，這的確是一種無法加以否認的真理。
試以「一個」而言：「我」是一個；如果我在教室中講話，這間教室也是一個；這間教室在臺北，臺北也只有一個；臺北在臺灣，臺灣也只有一個；臺灣在中國，中國也是一個；中國是世界的一環，世界也是一個；世界在虛空中，然而虛空也是一個。宇宙中沒有兩個同樣的東西，然而這些「一個」，究竟那「一個」多，那「一個」少呢？仔細思量，「一個」實不為少。
反之，萬億也在「一個」之中，也不能說它多。因為一是不離多，多是不離一的。在佛教中，說萬物相關，萬物一體。一與多，相容相入，一就是多，多也就是一。所以說一中含多，多中含一；一個不是少，億萬不是多，一與多是表裏的關係，並沒有特別的兩樣。
二、佛教看空量
「大中有小，小中含大。遠不在天邊，近不在眼前。」
研究佛教的人，都知道螺螄殼內，諸佛菩薩可以作道場，這是多麼不可思議的境界。佛於一毫端中，光明能周遍法界，這又是多麼難以凡情測度的事情。然而，這絕不是異想天開的神話，的確是如此的。
今以人身上的細胞來說，細胞若把我們人身看成是地球，而人間的地球對細胞而言，即成為不可知的宇宙。如果拿色究竟天的有情來說，他們身高十萬踰繕那，大於地球好多倍，我們人類之渺小甚於彼身上的細胞。又如：一隻烏龜每小時可走七公尺，在同一時間內，一隻兔子可跑六十五公里。人類認為狹小的花園，一隻螞蟻走進去可能找不到家。如此大小相差，長短距離，廣狹厚薄，以及南北東西上下之量，實在很難有一定的說法。
佛說：一微塵中有無數剎(一剎即為億萬太陽系)，無數剎中有無數佛，一一佛身各毛孔中有無數剎，剎中佛身，佛身毛孔，毛孔中剎，重重無盡，如此，則極小的極微又不知大於太陽系多少倍了。由此可知，我們今日所知的空量，皆是此世界有情幻覺中的幻相，因為有情界各有各的不同空量。例如：我們從中國到日本，相隔數千里，即使坐噴射客機，也要幾個小時；而西方極樂世界離此十萬億佛土，一念之中即可往生；由此可知空量的距離，近不在眼前，遠亦不在天邊。
三、佛教看時量
「促一剎那而非短，延無量劫而非長。」
我們從世間的有情界來看時間，所謂長短久暫，延促相差，都是幻覺不真。如親朋好友相聚歡談的時候，數小時等於一瞬；怨家對頭相逢一起的當兒，幾分鐘也好似歷時數年。蜉蝣不知晝夜，朝生夕死；彭祖八百歲，幾經滄桑；他們都覺得同樣的度過了一生，生命的久暫本來都是幻覺而不實在的。人間的五百年，忉利天才一晝夜；忉利天五百年，夜摩天才一晝夜。這樣一算，人間的一日，在夜摩天尚不及一秒；人間的一秒，在朝生夕死的蜉蝣，可能當作一晝夜，如此，時量實無標準可言。
娑婆世界的一劫，於阿彌陀佛的極樂世界才一晝夜；極樂世界的一劫，於金剛堅佛剎的袈裟幢世界才一晝夜；袈裟幢世界的一劫，於善勝光明蓮花開敷佛剎的不退轉音聲輪才一晝夜；不退轉音聲輪世界的一劫，於法幢佛剎的離垢世界才一晝夜；離垢世界的一劫，於獅佛剎的善燈世界才一晝夜；善燈世界的一劫，於光明幢佛剎的妙光明世界才一晝夜；妙光明世界的一劫，於法光明蓮花開敷佛剎的難超過世界才一晝夜；難超過世界的一劫，於一切神通光明佛剎的莊嚴慧世界才一晝夜；莊嚴慧世界的一劫，於月智佛剎的鏡光明世界才一晝夜；從鏡光明世界，如是乃至無數佛剎最後的一世界一劫，於賢勝佛剎的勝蓮花世界才一晝夜。從小處來看，我們娑婆世界的一劫，在勝蓮花世界裏有如一剎那；從大處來看，勝蓮花世界的一剎那，正如娑婆世界的一大劫。如此延促相差，可知我們這世界的時量是有情類幻覺中的假名了。
一隻蚊子，在一秒鐘內，能將他的翅膀振動五百至六百次，但人類即使是一個最優良的打字員，在一秒鐘內頂多能按六到七下鍵盤，同樣的時間，卻有如此的懸殊，若不明白這都是有情世界的幻相，那就永遠不能認識時間。
經云：「心包太虛，量周沙界。」又說法身「遍虛空，盡法界，豎窮三際，橫遍十方」，乃至「一念三千」，一心具足三千大千世界等，這些都代表佛教對時空數的宏觀。尤其經典中詮釋數量、時量、空量有所謂「一個不算少，萬億不算多」、「微塵不算小，虛空不算大」、「剎那不算短，劫波不算長」的理念，在在說明佛陀對數學的透析，已非一般的數學研究者所能比擬。佛教的數學其實已經大大超出數據的功能，它不僅開展我們的思想領域，擴大我們的生命價值，尤其啟示我們對世間生活應有的認識：在數量上不必求多，在空量上不必求大，在時量上不必求長。因為，外在的虛空，一個人窮其一生所能到達的，只不過如微塵般而已。一個人即使能活一百二十歲，但以無始無終的阿僧祇劫來看，也不過如朝露般短暫。重要的是，要能體會心內的空間，開闊心內的空間。心內有了寬闊的空間，就能包容宇宙虛空。
由此可見，佛教的數學觀對人生具有極深遠的啟迪作用。
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